硅谷杂志何有生：高斯投影误差的研究 |
| 2012-10-29 17:37 作者：何有生 来源：硅谷网 HV： 编辑： 【搜索试试】
|
|
【硅谷网10月29日讯】据《科技与生活》杂志2012年第16期刊文称，高斯投影在地图制图、道路测量、隧道测量等方面有着广泛的应用，但由于地球是个不规则的椭球，进行高斯投影必然会引起投影变形，因此在进行实际应用时，要考虑并尽量减小高斯投影引起的各项投影变形误差。就高斯投影产生的误差原因进行分析和研究，提出减小高斯投影误差的方法。
1绪论
高斯投影在地图制图、道路测量、隧道贯通等方面有着广泛的应用，但由于地球是个不规则的椭球，进行高斯投影必然会引起面积变形，长度变形等一系列不可避免的投影变形，因此在进行实际应用时，必须要考虑高斯投影引起的各项投影变形误差，并尽量的减小高斯投影引起的各项误差，进一步提高地图制图和工程建设等大型工程中的精度。
高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，在其它地方其长度比都大于1，并且距离中央子午线越远，长度变形愈大，面积变形也愈大，因此对高斯投影误差进行分析和计算，并尽量减少椭球面上元素归算到高斯投影面上产生的误差，对大比例尺制图和工程建设控制网等一系列应用有重要的作用，并且高斯投影的误差分析在大地测量理论和实践中，具有特别重要的意义。
2高斯投影误差产生的原因及分析
由于椭球面是一个不可展平的曲面，若将它铺展成平面，必然会产生褶皱和破裂，也就必然会产生不可避免的误差，这里就引起误差产生的原因进行分析。
2.1远离中央子午线产生的误差及分析
远离中央子午线产生的误差可分为长度误差和面积误差两种。
2.1.1长度误差及分析
高斯投影平面上某点处的弧素与地球椭球面上相应的弧素的之比，称为该点处的高斯投影长度比。即
（1）
略去推导直接给出用经纬度计算长度比的计算公式
（2）
式中：为点的纬度和经度；为点的经度差，；为点所在投影带的中央子午线经度；；为地球椭球的第二偏心率。
从式（2）可以看出，长度变形与2成比例地增大，随着离开中央子午线距离的增加，长度变形急剧增大，引起的面积变形也越大，此时由高斯投影引起的误差也越大。
高斯投影长度比恒大于1，通常将某点处的长度比与1之差称为该点的长度变形即
（3）
简化式（3）为
（4）
用高斯平面坐标计算长度变形的公式为
（5）
按照式（5），计算并绘制了高斯投影长度变形随经度差变化的图形如图1所示，高斯投影长度变形随纬度变化的图形如图2所示。
图1长度变形与经度差的关系
图2长度变形与纬度的关系
从图1和图2可知高斯投影长度变形的规律：
1）长度变形只与点的位置有关，而与方向无关，中央子午线无长度变形。
2）长度变形与经度差成正比，离中央子午线愈远变形越大。
3）长度变形与纬度B成反比，纬度越高，变形越小。
2.1.2远离中央子午线产生的面积误差及分析
高斯投影是保角投影，因此必然产生边长变形，高斯投影的长度变形取至二次项为
（6）
式中：为测区的平均横坐标，为地球曲率半径由边长变形求得面积变形，取至二次项则为
（7）
为高斯平面上的面积与椭球面上的面积之比，由式（6）、式（7）知，由于采用中央子午线产生的计算误差，只要离开中央子午线，距离就会变长，面积就会变大，且面积变形与离开中央子午线的距离成平方关系。
高斯投影对测区面积的影响与测区到中央子午线的距离有关，离中央子午线越远误差就越大，以纬度为350，离中央子午线不同的距离，经差纬差都是1’的区块为例，其在椭球面上的面积是2813026.48m2，由表1可以看出，离中央子午线越远面积增大得越多。要使面积变形小，离中央子午线越近越好。
表1远离中央子午线引起的面积误差统计表
纬差 10‘ 30‘ 10 20 30
面积比 1.0000006285 1.000053 1.000209 1.000828 1.00186
2.2高斯投影中投影面高程引起的误差及分析
由于高斯投影为横轴椭圆柱等角投影，故将椭球面投影到不同高度的椭圆柱面上引起的误差也是不同的，投影面高程越高误差也愈大。
投影面高程引起的长度变形为
（8）
式中：为投影面高程，为地球曲率半径，因此得到投影面高程引起的面积变形为
（9）
可以看出，为固定值，为一可变值并且面积变形随值的增大而减小，由此可知，高程投影使边长变短，投影面高程引起的面积变形使面积减小。投影面高程引起的面积变形如表2所示，面积变形值是以椭球面上的面积为1求得。
表2投影面高程引起的面积变形误差
H（m） 100 500 1000 1500 2000 3000
面积变形 0.9999686 0.9998429 0.9996857 0.9995286 0.9993715 0.9990572
由公式（9）和表2可以得出投影面高程越高，高斯投影的长度和面积变形就越小，高斯投影中采用投影面高程引起的边长变形恒为负，除了椭球面上的距离不变形外，其余高程面上的距离都会变短，并且随着高程面数值的增大边长就会变得越短。面积就会变小。
在平原地区，高程只有几米或十多米，只需要考虑高斯投影的边长变形即可，而在高原地区，只考虑高斯投影的边长变形是不够的，还须顾及到高程投影对边长的影响。
2.3高斯投影采用中央子午线和投影面高程带来的综合误差分析
由公式（6）和式（9）可知高斯投影中采用中央子午线引起的边长变形恒为正，除了中央子午线上的距离不变形外，离中央子午线越远边长就会变得越长，面积就会变大；高斯投影中采用投影面高程引起的边长变形恒为负，除了椭球面上的距离不变形外，其余高程面上的距离都会变短，并是随着高程面数值的增大边长就会变得越短。面积就会变小。
由于测量计算中必须进行边长的归化，二者的综合影响为
（10）
因此中央子午线和投影面高程对面积带来的综合误差为
（11）
二者的综合影响如表3所示。
表3离开中央子午线和投影面高程引起的综合面积变形
Y（km）
H（m） 5 10 20 40 60
1000 0.9996863 0.9996882 0.9996956 0.9997252 0.9997746
2000 0.9993721 0.9993739 0.9993813 0.9994109 0.9994603
3000 0.9990578 0.9990597 0.9990671 0.9990967 0.9991460
就中央子午线带来的计算误差而言，离开中央子午线的地方面积就会变大，而投影面高程引起的面积变形使面积减小，二者在一定条件下可以抵消或者削弱，但多数情况下二者不可能抵消，只能是有所削弱。
3椭球面上元素归算到高斯投影面上产生的误差分析
3.1方向误差改正计算及其误差分析
椭球面上的三角网是由大地线构成，大地线在高斯投影平面上的投影是曲线，在平面上解算曲边三角形是相当复杂的，为了在平面上利用平面三角学公式进行计算，需把大地线的投影曲线用其弦线来代替，因此需要在水平方向观测值中加入由于“曲改直”而带来的所谓“方向改正数”。方向改正就是指大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的夹角。每个方向都必须进行方向改正，因此方向改正计算是三角测量概算中的一项基本工作。
3.2距离误差改正计算及其误差分析
将椭球面上的大地线长度改化为高斯投影平面上投影曲线两端点间的弦长，称为距离改正。其改化公式为
（12）
式中：取大地线投影后始末两点横坐标平均值，即
（13）
4减少高斯投影误差的方法
4.1建立局部坐标系减小高斯投影误差
4.1.1选择“抵偿高程面”作为投影面
将边长由较高的高程面化算到较低的椭球面时，长度总是减少的；将椭球面上的边长投影到高斯平面上，长度总是增加的。根据它们的抵偿性质，如果适当选择椭球的半径，使长度化算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于由这个面投影到高斯平面上所增加的数值，那么高斯平面上的距离同实地距离就一致了。这个适当半径的椭球面，称为“抵偿高程面”。
4.1.2保持国家统一的椭球面作投影面不变，选择“任意投影带”
如果选择的投影带，能使长度投影到该投影带所产生的变形，恰好抵偿这一长度投影到椭球面所产生的变形，则称这种投影带为“抵偿投影带”。
4.1.3选择平均高程面作投影面，通过测区中心的子午线作为中央子午线
此项选择为既选择投影面。又选择投影带。选择后，保证测区中心处，，此时，长度综合变形为最小。
4.2采用高斯投影分带来减小高斯投影误差
限制长度变形的最有效办法，就是“分带”投影。将整个椭球面沿子午线划分成若干个经差相等的狭窄的地带，各带分别进行投影，于是可得到若干不同的投影带。位于各带中央的子午线称为中央子午线，用以分带的子午线（投影带边缘的子午线）称为分带子午线。
由于分带把投影区域限定在中央子午线两旁狭窄范围之内，所以有效地限制了长度变形，显然，在一定的范围内，带数越多，各带越窄，长度变形也就越小。从限制长度变形这个角度来考虑，分带越多越好。
分带投影后，各投影带有各自不同的坐标轴和原点，从而形成彼此相互独立的高斯平面坐标系。这样，位于分带子午线两侧的点就分属于两个不同的坐标。生产作业的区域往往分跨于不同的投影带内，需要将其化为同一坐标系中，因而必须进行不同投影带之间的坐标换算。从这个角度来考虑，又要求分带不宜过多。
实际分带时，应当兼顾上述两方面的要求。我国投影分带主要采用60带和30带两种分带方法。因高斯投影的最大变形在赤道上。并随经差的增大而增大，故限制了投影的经度范围就能将变形大小控制在一定的范围内，满足地图精度的要求，因此确定对该投影采取分带单独进行投影。各带分别投影后，建立各自坐标网。
5结论
本文通过对高斯投影进行介绍，详细分析了高斯投影产生误差的原因，如远离中央子午线引起的误差，投影面高程引起的误差等，以及解决高斯投影误差的几种方法。由于高斯投影存在误差，椭球面上的各种元素计算必须加入各项改正值，才能满足高精度工程的要求，为了消弱高斯投影引起的误差，必须通过一定的方法来改进高斯投影，如高斯投影分带的方法，这些都可以有效的减小高斯投影引起的误差。
参考文献：
[1]张华海、王宝山、赵长胜等，应用大地测量学[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.
[2]胡圣武，对高斯投影分带的研究[J].地理空间信息，2012，10（1）：54-56.
[3]吕志平，大地测量学基础[M].北京：解放军出版社，2005.
[4]王慧麟、安如等，测量与地图学[M].南京：南京大学出版社，2009.
[5]卢秀山、成枢，大比例尺地学图形全解析测绘基本原理及其应用[M].北京：地震出版社，1998.
[6]刘建贤、杨云洋，建立抵偿坐标系统解决长度变形的探讨[J].徐州建筑职业技术学院学报，2008（4），16-18.
[7]孔祥元、郭际明、刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉：武汉大学出版社，2006.
|
|
|
|
【对“硅谷杂志何有生：高斯投影误差的研究”发布评论】 |
版权及免责声明：
① 本网站部分投稿来源于“网友”，涉及投资、理财、消费等内容，请亲们反复甄别，切勿轻信。本网站部分由赞助商提供的内容属于【广告】性质，仅供阅读，不构成具体实施建议，请谨慎对待。据此操作，风险自担。
② 内容来源注明“硅谷网”及其相关称谓的文字、图片和音视频，版权均属本网站所有，任何媒体、网站或个人需经本网站许可方可复制或转载，并在使用时必须注明来源【硅谷网】或对应来源，违者本网站将依法追究责任。
③ 注明来源为各大报纸、杂志、网站及其他媒体的文章，文章原作者享有著作权，本网站转载其他媒体稿件是为传播更多的信息，并不代表赞同其观点和对其真实性负责，本网站不承担此类稿件侵权行为的连带责任。
④ 本网站不对非自身发布内容的真实性、合法性、准确性作担保。若硅谷网因为自身和转载内容，涉及到侵权、违法等问题，请有关单位或个人速与本网站取得联系（联系电话：01057255600），我们将第一时间核实处理。
|
|
|
|
